Цей урок - корисне доповнення до попередньої теми "".
Уміння робити такі речі - штука не просто корисна, вона - необхідна. У всіх розділах математики, від шкільної до вищої. Та й у фізиці теж. Саме з цієї причини завдання подібного роду обов'язково присутні і в ЄДІ і в ОГЕ. У всіх рівнях - як базовому, так і профільному.
Власне, вся теоретична частина подібних завдань є ще однією єдину фразу. Універсальну і просту до неподобства.
Дивуємося, але запам'ятовуємо:
Будь-яке рівність з буквами, будь-яка формула - це ТЕЖ РІВНЯННЯ!
А де рівняння, там автоматично і. Ось і застосовуємо їх у зручному нам порядку і - готово.) Читали попередній урок? Ні? Однак ... Тоді ця ссилочку - для вас.
Ах, ви в курсі? Відмінно! Тоді застосовуємо теоретичні знання на практиці.
Почнемо з простого.
Як висловити одну змінну через іншу?
Таке завдання постійно виникає при вирішенні систем рівнянь.Наприклад, є рівність:
3 x - 2 y = 5
тут дві змінні- ікс і ігрек.
Припустимо, нас просять висловитиxчерезy.
Що означає це завдання? Воно означає, що ми повинні отримати деяке рівність, де зліва стоїть чистий ікс. У гордій самоті, без жодних сусідів і коефіцієнтів. А справа - що вже вийде.
І як же нам отримати таке рівність? Дуже просто! За допомогою все тих же старих добрих тотожних перетворень! Ось і застосовуємо їх у зручному нампорядку, крок за кроком добираючись до чистого ікси.
Аналізуємо ліву частину рівняння:
3 x – 2 y = 5
Тут нам заважають трійка перед іксом і - 2 y. Почнемо з - 2у, Це простіше буде.
перекидаємо - 2уз лівої частини в праву. Змінюючи мінус на плюс, зрозуміло. Тобто застосовуємо першийтотожне перетворення:
3 x = 5 + 2 y
Півсправи зроблено. Залишилася трійка перед іксом. Як від неї позбутися? Розділити обидві частини на цю саму трійку! Тобто задіяти другетотожне перетворення.
Ось і ділимо:
От і все. ми висловили ікс через ігрек. Зліва - чистий ікс, а праворуч - що вже вийшло в результаті "очищення" ікси.
Можна було б спочаткуподілити обидві частини на трійку, а потім - переносити. Але це привело б до появи дробів в процесі перетворень, що не дуже зручно. А так, дріб з'явилася лише в самому кінці.
Нагадую, що порядок перетворень ніякої ролі не грає. як намзручно, так і робимо. Найголовніше - не порядок застосування тотожних перетворень, а їх правильність!
А можна з цього ж рівності
3 x – 2 y = 5
висловити y черезx?
А чому ні? Можна, можливо! Все те ж саме, тільки на цей раз нас цікавить зліва чистий ігрек. Ось і очищаємо ігрек від усього зайвого.
Насамперед позбавляємося від виразу 3х. Перекидаємо його в праву частину:
–2 y = 5 – 3 x
Залишилася двійка з мінусом. Ділимо обидві частини на (-2):
І всі справи.) Ми висловилиyчерез х.Переходимо до більш серйозним завданням.
Як висловити змінну з формули?
Не проблема! Так само!Якщо розуміти, що будь-яка формула - теж рівняння.
Наприклад, таке завдання:
з формули
висловити змінну с.
Формула - теж рівняння! Завдання означає, що через перетворення з запропонованої формули нам треба отримати якусь нову формулу.В якій зліва стоятиме чиста з, А праворуч - що вже вийде, то і вийде ...
Однак ... Як нам цю саму звитягувати щось?
Як-як ... По кроках! Ясна річ, що виділити чисту з відразунеможливо: вона в дроби сидить. А дріб множиться на r... Значить, насамперед очищаємо вираз з буквою з, Тобто всю дріб цілком.Тут можна поділити обидві частини формули на r.
отримаємо:
Наступним кроком треба витягнути зз чисельника дробу. Як? Легко! Позбудемося дробу. Нема дроби - нету і чисельника.) Множимо обидві частини формули на 2:
Залишилася елементарщину. Забезпечимо справа букві згорде самотність. Для цього змінні aі bпереносимо вліво:
Ось і все, можна сказати. Залишилося переписати рівність в звичному вигляді, зліва направо і - відповідь готова:
Це було нескладне завдання. А тепер завдання на основі реального варіанту ЄДІ:
Локатор батискафа, рівномірно занурюється вертикально вниз, випускає ультразвукові імпульси частотою 749 МГц. Швидкість занурення батискафа обчислюється за формулою
де з = 1500 м / с - швидкість звуку у воді,
f 0 - частота випускаються імпульсів (в МГц),
f- частота відбитого від дна сигналу, що реєструється приймачем (в МГц).
Визначте частоту відбитого сигналу в МГц, якщо швидкість занурення батискафа дорівнює 2 м / с.
"Многа букафф", так ... Але букви - це лірика, а загальна суть все одно та ж сама. Насамперед треба висловити цю саму частоту відбитого сигналу (тобто букву f) З запропонованої нам формули. Ось цим і займемося. Дивимося на формулу:
Безпосередньо, природно, букву fНіяк не висмикнеш, вона знову в дріб захована. Причому і в чисельник і в знаменник. Тому найбільш логічним кроком буде позбутися від дробу. А там - видно буде. Для цього застосовуємо другеперетворення - множимо обидві частини на знаменник.
отримаємо:
А ось тут - чергові граблі. Прошу звернути увагу на дужки обох частинах! Частенько саме в цих самих дужках і криються помилки в подібних завданнях. Точніше, не в самих дужках, а в їх відсутності.)
Дужки зліва означають, що буква vмножиться на весь знаменник цілком. А чи не на його окремі шматочки ...
Справа ж, після множення, дріб зниклаі залишився самотній чисельник. Який, знову ж таки, весь цілкоммножиться на букву з. Що і виражається дужками в правій частині.)
А ось тепер дужки і розкрити можна:
Відмінно. Процес йде.) Тепер буква fзліва стала загальним множником. Виносимо її за дужки:
Залишилося всього нічого. Ділимо обидві частини на дужку (v- c) і - справа в капелюсі!
В принципі, все готово. Мінлива f вже виражена. Але можна додатково "причесати" отриманий вираз - винести f 0 за дужку в чисельнику і скоротити всю дріб на (-1), тим самим позбувшись від зайвих мінусів:
Ось такий вислів. А ось тепер і числові дані підставити можна. отримаємо:
Відповідь: 751 МГц
От і все. Сподіваюся, загальна ідея зрозуміла.
Робимо елементарні тотожні перетворення з метою усамітнитися цікавить нас змінну. Головне тут - не послідовність дій (вона може бути будь-який), а їх правильність.
У цих двох уроках розглядаються лише два базових тотожних перетворення рівнянь. Вони працюють завжди. На те вони і базові. Крім цієї парочки, існує ще безліч інших перетворень, які теж будуть тотожними, але не завжди, а лише за певних умов.
Наприклад, зведення обох частин рівняння (або формули) в квадрат (або навпаки, витяг кореня з обох частин) буде тотожним перетворенням, якщо обидві частини рівняння свідомо невід'ємні.
Або, скажімо, логарифмирование обох частин рівняння буде тотожним перетворенням, якщо обидві частини свідомо позитивні.І так далі…
Подібні перетворення будуть розглядатися у відповідних темах.
А тут і зараз - приклади для тренування по елементарним базовим перетворенням.
Простенька задачка:
з формули
висловити змінну а й знайти її значення приS=300, V 0 =20, t=10.
Завдання складніше:
Середня швидкість лижника (в км / год) на дистанції в два кола розраховується за формулою:
деV 1 іV 2 - середні швидкості (в км / год) на першому і другому колах відповідно. Яка була середня швидкість лижника на другому колі, якщо відомо, що перше коло лижник пробіг зі швидкістю 15 км / год, а середня швидкість на всій дистанції виявилася рівною 12 км / год?
Завдання на основі реального варіанту ОГЕ:
Доцентровийприскорення при русі по колу (в м / с 2) можна обчислити за формулоюa= Ω 2R, Де ω - кутова швидкість (в с -1), аR- радіус кола. Користуючись цією формулою, знайдіть радіусR(В метрах), якщо кутова швидкість дорівнює 8,5 с -1, а доцентрове прискорення дорівнює 289 м / с 2.
Завдання на основі реального варіанту профільного ЄДІ:
До джерела з ЕРС ε = 155 В і внутрішнім опоромr= 0,5 Ом хочуть підключити навантаження з опоромRОм. Напруга на цьому навантаженні, яке виражається в вольтах, дається формулою:
При якому опорі навантаження напруга на ній буде 150 В? Відповідь висловіть в Омасі.
Відповіді (в безладді): 4; 15; 2; 10.
А вже де числа, кілометри на годину, метри, оми - це як-небудь самі ...)
Скориставшись записом першого початку термодинаміки в диференціальної формі (9.2), отримаємо вираз для теплоємності довільного процесу:
Уявімо повний диференціал внутрішньої енергії через приватні похідні по параметрах і:
Після чого формулу (9.6) перепишемо у вигляді
Співвідношення (9.7) має самостійне значення, оскільки визначає теплоємність в будь-якому термодинамическом процесі і для будь-якої макроскопічної системи, якщо відомі калоріческой і термічне рівняння стану.
Розглянемо процес при постійному тиску і отримаємо загальне співвідношення між і.
Виходячи з отриманої формули, можна легко знайти зв'язок між теплоємності і в ідеальному газі. Цим ми і займемося. Втім, відповідь уже відомий, ми його активно використовували в 7.5.
Рівняння Роберта Майєра
Висловимо приватні похідні в правій частині рівняння (9.8), за допомогою термічного і калорического рівнянь, записаних для одного моля ідеального газу. Внутрішня енергія ідеального газу залежить тільки від температури і не залежить від обсягу газу, отже
З термічного рівняння легко отримати
Підставами (9.9) і (9.10) в (9.8), тоді
остаточно запишемо
Ви, сподіваюся, дізналися (9.11). Так, звичайно, це рівняння Майера. Ще раз нагадаємо, що рівняння Майера справедливо тільки для ідеального газу.
9.3. Политропического процеси в ідеальному газі
Як зазначалося вище перший початок термодинаміки можна використовувати для виведення рівнянь процесів, що відбуваються в газі. Велике практичне застосування знаходить клас процесів, званих политропического. политропического називається процес, що проходить при постійній теплоємності .
Рівняння процесу задається функціональним зв'язком двох макроскопічних параметрів, що описують систему. На відповідній координатної площині рівняння процесу наочно представляється у вигляді графіка - кривий процесу. Крива, що зображає политропического процес, називається політропи. Рівняння политропического процесу для будь-якої речовини може бути отримано на основі першого закону термодинаміки з використанням його термічного і калорического рівнянь стану. Продемонструємо, як це робиться на прикладі виведення рівняння процесу для ідеального газу.
Висновок рівняння политропического процесу в ідеальному газі
Вимога сталості теплоємності в процесі дозволяє записати перший початок термодинаміки у вигляді
Використовуючи рівняння Майера (9.11) і рівняння стану ідеального газу, отримуємо такий вираз для
Розділивши рівняння (9.12) на T і підставивши в нього (9.13) прийдемо до вираження
Розділивши () на, знаходимо
Інтегруванням (9.15), отримуємо
Це рівняння політропи в змінних
Виключаючи з рівняння (), за допомогою рівності отримуємо рівняння політропи в змінних
Параметр називається показником політропи, який може приймати згідно () найрізноманітніші значення, позитивні та негативні, цілі і дробові. За формулою () ховається безліч процесів. Відомі вам ізобарний, Ізохоричний і ізотермічний процеси є окремими випадками политропического.
До цього класу процесів відноситься також Адіабатний або адіабатичний процес . Адіабатних називається процес, що проходить без теплообміну (). Реалізувати такий процес можна двома способами. Перший спосіб передбачає наявність у системи теплоізолюючих оболонки, здатної змінювати свій обсяг. Другий - полягає в здійсненні такого швидкого процесу, при якому система не встигає обмінюватися кількістю теплоти з навколишнім середовищем. Процес поширення звуку в газі можна вважати адіабатних завдяки його великій швидкості.
З визначення теплоємності випливає, що в адіабатичному процесі. згідно
де - показник адіабати.
У цьому випадку рівняння політропи набирає вигляду
Рівняння адиабатного процесу (9.20) називають також рівнянням Пуассона, тому параметр часто називають постійної Пуассона. Постійна є важливою характеристикою газів. З досвіду випливає, що її значення для різних газів лежать в інтервалі 1,30 ÷ 1,67, тому на діаграмі процесів адіабата «падає» більш круто, ніж ізотерма.
Графіки политропического процесів для різних значень представлені на рис. 9.1.
На рис. 9.1 графіки процесів пронумеровані відповідно до табл. 9.1.
Способів виведення невідомої з формули багато, але як показує досвід роботи - всі вони малоефективні. Причина: 1. До 90% учнів випускних класів не вміють правильно висловити невідоме. Ті ж, хто вміють це робити - виконують громіздкі перетворення. 2. Фізики, математики, хіміки - люди, які говорять на різних мовах, пояснюючи методи перенесення параметрів через знак рівності (пропонують правила трикутника, хреста та ін.) У статті розглянуто простий алгоритм, що дозволяє в один прийом, Без багаторазового переписування вираження зробити висновок шуканої формули. Його можна подумки порівняти з роздяганням людини (праворуч від рівності) в шафу (зліва): не можна зняти сорочку, не знімаючи пальто або: то, що першим одягають, останнім знімають.
алгоритм:
1. Записати формулу і розібрати прямий порядок виконуваних дій, послідовність обчислень: 1) піднесення до степеня, 2) множення - ділення, 3) віднімання - додавання.
2. Записати: (Невідоме) = (переписати зворотну частину рівності)(Одяг в шафі (зліва від рівності) залишилася на місці).
3. Правило перетворення формул: послідовність перенесення параметрів через знак рівності визначається зворотного послідовністю обчислень. Знайти в вираженні останню діюі перенестийого через знак рівності першим. Поетапно, знаходячи останню дію в вираженні, перенести сюди з іншої частини рівності (одяг з людини) всі відомі величини. У зворотній частині рівності виконуються зворотні дії (якщо штани знімають - «мінус», то в шафу укладають - «плюс»).
приклад: hv = hc / λ m + mυ 2 /2
висловити частотуv :
Порядок дій: 1.v = переписуємо праву частинуhc / λ m + mυ 2 /2
2. Розділимо на h
підсумок: v
= (
hc
/
λ m
+
mυ
2
/2) /
h
висловити υ m :
Порядок дій: 1. υ m = Переписати ліву частину (hv ); 2. Послідовно переносимо сюди зі зворотним знаком: ( - hc /λ m ); (*2 ); (1/ m ); (√ або ступінь 1/2 ).
Чому спочатку переноситься ( - hc /λ m )? Це остання дія в правій частині виразу. Оскільки вся права частина множиться на (m /2 ), То і вся ліва частина ділиться на даний множник: тому ставляться дужки. Перша дія в правій частині - зведення в квадрат, переноситься в ліву частину останнім.
Цю елементарну математику з порядком дій при обчисленнях кожен учень відмінно знає. Тому всіучні досить легко, без багаторазового переписування вираження, Відразу виводять формулу для обчислення невідомого.
підсумок: υ = (( hv - hc /λ m ) *2/ m ) 0.5 ` (Або пишуть квадратний корінь замість ступеня 0,5 )
висловити λ m :
Порядок дій: 1. λ m = Переписати ліву частину (hv ); 2.Вичесть ( mυ 2 /2 ); 3. Розділити на (hc ); 4. Звести до ступеня ( -1 ) (Математики зазвичай змінюють чисельник і знаменник шуканого виразу.)